地图中的分形艺术

1967年Mandelbrot在《Science》杂志上发表了一篇文章,讨论英国海岸线究竟有多长?最后他给出的结论是:英国海岸线长度是不可测的,这一结果相信很多人都无法理解,下面简单举个例子来解释这一问题

  • 首先有一个初始的等边三角形
  • 把一条线段三等分后从中间一段向外作等边三角形
  • 反复迭代无数次

这就是著名的科赫曲线(Koch Curve),现在我们将其中的一边拿出来详细分析:

  • 在A中,图形中最小的长度为1,只有1个元素,所以这条线的长度为1×1=1;
  • 在B中,图形中最小的长度为1/3,有4个元素,这条线的长度为1/3×4=4/3;
  • 在C中,图形中最小的长度为1/9,有16个元素,这条线的长度为1/9×16=16/9;
  • 在D中,图形中最小的长度为1/27,只有64个元素,这条线的长度为1/27×64=64/27;
  • 在E中,图形中最小的长度为1/81,只有256个元素,这条线的长度为1/81×256=256/81;

我们看到随着迭代次数的增加,这条线段的长度在不断变长。换句话说,我拿一把长度为1/81的尺子量出来这条线的长度要比拿长度为1的尺子量出来的长度要长。所以,这条线的长度是和你尺子的长度有关,你的尺子越小,量出来的长度也就越长,用我们地理信息中的词汇就叫做“尺度”,文章开头讲的英国海岸线长度也是一个道理,在小比例尺下测得的海岸线长度要比大比例尺下测得的长。

再回到科赫曲线,你仔细观察它还能发现一个有意思的特性,这个曲线是在一个等边三角形下开始迭代,它有一个外接圆,所以这条曲线所围成的面积一定不会超过这个圆的面积,但是按照我们上面的分析,在无限次迭代后它的周长是不收敛的,这意味着它的周长是无穷大,换句话说这是一个在有限的面积中边长为无穷大的图形,是一条病态的曲线,用欧式几何是无法解释的。

我们生活在三维空间中,用欧式几何定义一个点是零维度、线段是一维的、平面是二维的、空间体是三维的,而科赫曲线的维度是1.26维,是的,你没有看错,它并不是传统意义上的欧式几何中的图形,这是Mandelbrot开创的一个新的领域——分形几何。

1.26也称作科赫曲线的分形维度,如何来理解这1.26维呢?你可以这么理解它:它原本是一条曲线,按欧式几何来划分应该是一维的图形,但是由于它的迭代并不收敛,它在不断的进化,把它当做线,它的长度是无穷大;把它当做面,它的面积却是零,所以它的维度是介于一和二之间。

自然界可以看到许多的分形结构,比如:河流、山体、树木等,不仅是自然界,城市发展中也处处有分形,比如:城市规模发展、城市路网结构等,这些都能够在地图中完完全全的看得到,想要探索自然界的奥秘吗?想要了解城市发展的规律吗?关注GeoHey.com,你一定能够获得意想不到的收获。

tiank

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