从自然科学方法到社会经济问题——借用水流工具,来进行"客流"的分析(上)

在我的求学经历中,大多具体的空间分析方法是学自于统计学工程学背景的教授——怎样分析点状空间数据、连续型空间数据,怎样做空间回归、空间优化。我一直很感恩于这些严谨的训练。

不过对我影响最深的,却是一位很浪漫的、出身于景观设计学的教授。他研究自然资源、水文地理,他会写一个新的地图算法作为给夫人的周年纪念礼物,也会给我们留作业让我们分析人类和”鱼人”打仗的最优战略。他就是Map Algebra(地图代数学)的奠基人——Dana Tomlin教授。

Map Algebra,顾名思义,就是在地图上算算数。这就牵涉到GIS分析的两个思路:矢量分析栅格分析。如果我们研究的是社会学问题,往往会更关注跟人类活动有关的POI(Point of Interest)——先看"是什么东西",再看"它在哪里",这是矢量分析的思路。自然科学则原生是栅格分析,给空间里所有的点标注上"有哪些属性",然后就可以"算算数"了。而Tomlin教授得益于他跨学科的背景,先是根据自然科学的学科需求,建立了最初的空间计算方法(已是几十年前的事);又致力于填补它和社会学分析之间的断裂,就像打通任督二脉,把空间分析融汇为一体。

下面,我就举个小小的例子,先以水文学(Hydrology)的计算展示下地图上算数的乐趣,再看怎样借用"水流"的概念,来解决"客流"的问题。

上面这张图,是我随意截取的一块高程栅格。这里唯一的数值就是海拔,白色为高,黑色为低。你可以把它想象成一个m*n的矩阵——每一点代表了山体的高度,可以从图中看到有峰有谷有洼地。

那么有了海拔高度,接下来怎么算算数呢?首先想到的是,可以求变化率

想象下,简化到2d,山体的轮廓是一根曲线,我们肯定想求个导,得到每一点的梯度。而到了3d的实际情况中,山体每一点到四面八方的梯度都不同,那怎样提取出有意义的信息呢?我们可以提取最陡峭的下降方向——如果有降水的话,水就会流向这个方向。

上图就是经过计算得出的,从每一点出发下降最陡峭的方向。根据矩阵的特性,每一点有八个邻居,方向也是简化为八个,分别用一个颜色渲染。

好了,得到了水流的方向,我们就可以模拟降水了。尽管我们可以引入降水的分布栅格,但为了体现单个数据源(高程)能产生千变万化的趣味性, 这里我们就假设降水都是一致的,那么想象一下,降水会产生水流,汇聚成河、湖。怎样来计算和表述这件事?就是求每一点累积经过的水量了。

上图为水流量的局部渲染。黑色越深,表明累积流过这一点的水量越大。可以看到形成了一条条的水流。

然而通过观察,我们发现了一个问题:有些时候,因为某一局部的高程低,汇流而来的水断掉了。这种情况往往是由高程栅格数据的原生缺陷导致,而我们可以做的是将断点"补上"(上图右)。

更新数据后,再次计算水的流量情况,结果如下图。我们把它放到3d山体(将高程栅格打上光影,半透明叠加在山体高度上)来观察,可以更清晰地察看。

这里,我们用数字来说明认知和处理断点的作用:原先的汇流量最大点,汇聚了来自近2万格子的降水;而调整后的汇流量极值,是来自28万个格子的降水。

像这样在计算中随时检查—发现问题—返回解决问题—重新计算—再次检查是非常重要的。很多时候模型方法都斟酌适当,结果却不对,就可能是输入的数据不符合算法的假设预期,有坑需要去填。

——不过这就扯远了。回到主题,从高程栅格,能生成这些黑色的"河流";而反过来,白色的零值(降水只会流出/没有流入)的部分,其实是一条条"山脊"。通过栅格运算,还可以筛选出不同级别的主要山脊。

能从水流量衍生出的信息有很多,下面我们放一组图吧:

这是渲染的每一点上的降水要流到局部最低点有多远。

这是通过计算划分了河流的主流和支流。

这是计算出每个河段的流域范围。

除了按自然河段求流域,还可以算任意一点的流域,如上图。

以上都是由高程栅格出发,通过简化模型创造出的一些新的栅格。在农学、林学等自然科学中,基于地表数据会有更复杂的模型,更实际的计算。而这些计算归根结底,依然是这几个Map Algebra的基本思路:

我自己/Local

四周的邻居/Focal

同一区、同一国的人/Zonal

所有人/Global

这种地图上的运算,也是解决许多问题的基本思路。Tomlin教授课上就会给我们抛出各种问题,让我们思考解题的办法:

如果餐馆对客流的吸引力是距离的函数,怎样在地图上计算其中一家餐馆份额的分布

如果有一个道路栅格,其中道路粗细、间隔都各不同,怎样最准确地找到所有的道路交叉口

如果要在森林中从A点到B点开辟一条公路,森林中散布的树要砍掉各有不同的代价,那总代价最小的路怎么选取?

怎样实现有障碍(河流/墙/黑人白人聚居分界线)情况下的密度分布计算?

想实现平面形状的平滑,和3d表面的平滑,分别应做怎样的栅格运算?

……

这些都是虽简单却非常有益的训练。

下一篇中,我们将着手解决一个具体的问题——大学校园里,因下雪导致交通成本变化时,几个餐车的份额/客流量是如何变化的。而解题用到的,就是水沿着最陡峭的梯度下降,求水的累积量这一思路。

我们将把山体的"梯度"抽象成任何"成本"(时间、金钱、风险、环境影响……),而在"成本"的平面上,从一点到另一点"距离"的含义则为成本的累积。借由校园餐车的案例,看看这一经典的算法是怎样应用的。

June

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