从自然科学方法到社会经济问题——借用水流工具，来进行"客流"的分析（下）

上一篇文章中，我们在地图上建了高山流水的模型；并提到如果把山体的**"梯度"抽象成任何"成本"（时间、金钱、风险、环境影响 etc.），则在"成本"的平面上，从一点到另一点"距离"的含义也即从水流量的累积抽象成了成本的累积**，并能用于社会经济问题的分析——这样描述是否有些太抽象了？

本篇中，我们就将具体看到“学生买饭”这个时间成本，是如何在校园里穿行的距离上累积的。

上图是宾夕法尼亚大学的校园局部。在这里生活了四年的笔者可以亲切地辨认出这些要素（Love him or hate him，同为宾大校友的美国总统川普也曾在这个校园里穿行买饭）：

每一栋楼：白色，通行成本无穷大——假设不能穿楼而过

每一条硬质铺地的道路：浅灰色，通行成本0.2秒/英尺——你会注意到，成本表达是把速度公式的分子和分母反了过来，速度大则时间成本小嘛

每一片草坪：深灰色，通行成本0.4秒/英尺——穿草地比在路上走要慢一倍

每一条城市街道：黑色，通行成本2秒/英尺——过马路最慢
然后我们来看校园里的餐车都在哪里：

图中三个大圆点是3个餐车的位置，分别挨着建筑学院，语言学院和化学学院。

而40个小圆点是宾大学生午休的起始位置。对他们来说，时间就是金钱，都会优化选择到去最近的餐车买饭——这里的“最近”，是时间最短。图中蓝色、绿色和紫色的区域是3个餐车的“势力范围”，每个范围内的起始点到相应餐车的时间最短（Allocation问题）。

我们很熟悉按直线距离的Allocation，如下图，离哪个点近的区域，就归哪个点。

而按时间成本的Allocation也一样，到哪个点时间短，就归哪个点。（思考：怎样计算平面上每个位置到餐车的最短时间？hint：穷举所有路径显然是算不过来的，而拆成一步一步地算则很简单 ）

下图中颜色渲染的含义是“到最近餐车的距离”，单位度量是秒；显然最浅的颜色（即能最快买到饭的出发区域）在每个餐车的附近。可以把它想成是将3个餐车的距离成本栅格叠加进行最小值计算的结果。

而图中白色的线，则为每个学生走到餐车的最短路径；当两组学生汇合后，路径颜色会加深。如果结合校园地图来看，可以发现由于穿草坪较慢，学生主要都是沿着道路走的，小路汇合到大路，最终走到餐车。

那么，这些最短路径，是怎么求出来的呢？其实就是上篇文章中高山流水的思路——一个很美的阅读角度：

把上图中的成本平面，想象成是山，则3个餐车所在的地方高程最低，为0（秒）；而高程最高（红色最深）的山峰，高度是415（秒）。这时，如果在任何一个位置下了雨，那么水会沿着最陡峭的下降方向，一路流到3个最低点的其中一个。水流的路径，即是学生到餐车的最短路径。

整个过程是否清楚？我们不妨让校园进入大雪的冬天，再看一遍这个流程。

整个冬天，校园里无论道路还是草坪，都变成了厚厚的积雪；除了建筑物依然无法通行，其他所有地方的通行成本都变成了0.3秒/英尺。

这时，学生再去餐车买饭，时间成本就发生了变化；最远的一个学生，买饭的时间成本从415秒减少到了378秒。而3个餐车的“势力范围”也相应发生了变化。

再次在时间成本的山上“下学生雨”，可以看到，比起下雪前的沿路走，冬天学生的最短路径基本上就是绕着建筑物走直线。

于是，由于积雪，3个餐车的市场份额也发生了变化:

从成本平面变化前后，“高山流水”最短路径的相应变化来看，就是这样：（地图左下角和右上角的变化最明显）

结语

这种“成本平面”的思路是否很有泛用性呢？而例子中的成本平面还依然是真实的地理空间。如果变成一个抽象的空间，也是可以的。

你也许会记得上学时，一些复杂的代数问题转化为几何，可以用相对容易的几何工具解出——我们现在常用的很多数据算法，都是借助了这一点。即使本身已是几何问题，有时增加几何维度也能让解题变容易（利用2d空间操作提取线性特征、3d空间操作提取平面特征……）。

由是，既不必被“距离”、“坡度”这样的词束缚在自然科学的范畴，也无需被“空间”这个词束缚在地图上；重要的是找某个数据的某一操作对应的实际意义，它怎样能帮我们创造新的，通向解释现象、解决问题的数据。

在居住人口密度上寻找坡度，可以用于界定聚居区的边界；在环境危害风险上计算距离，即是采取某条路线的总环境风险。（思考：犯罪的坡度又是什么？如果在坡度上再算坡度有怎样的意义？）要解决的问题可以增加几何维度，也可以降低几何维度，转化成用某种现有算法能解决的问题。

幸运的是，大多数的路已有前人为我们探过，我们所要做的更多是知道走哪一条。且知其所以然，从而把握边界和局限。

下一篇文章中，我们就将用细节举例，看如何把算法用好，抓住本质，识别陷阱。

17/05/14更新，答一位知乎小伙伴的提问：

这里的关键数据是cost surface（raster）。生成它的方法，文中例子是直接由另一个raster数据转换得来。在其他情景下原始数据也可以是vector，或者由一组原始数据综合计算得出。举个例子：原始数据是一组核辐射源points，受辐射cost则是由到辐射源距离生成的surface。生成cost surface之后，再针对目的地计算出accumulate cost的surface，最终计算shortest distance（文中是最短时间，核辐射的情景里则是最少辐射总量）的方法则是在这个surface上一路找最陡坡度